◎速率

百米競賽時,先抵達終點者(花的時間較少),跑得快;同樣時間內,移動路徑較長者,跑得快。物體運動的快慢和路程、時間有關,因此,我們以「單位時間內所經過的路程」來表示物體運動的快慢,稱為平均速率。假設物體歷經時間Δt,所經過的路程為ΔL,則平均速率v,可以下列式子表示:

平均速率=路程/歷經時間  即 v =ΔL/Δt


如果路程的單位是公尺(m),時間的單位是秒(s),則平均速率的單位為公尺/秒(m/s);此外,公里/小時(km/h)、公分/秒(cm/s)也常做為平均速率的單位。

平均速率表示物體運動時所經過的全部路程除以經歷的總時間,無法表達某一特定時刻物體真正的運動快慢。例如開車由中山高速公路的基隆端到高雄端,全程約375公里,若總共花了5小時,則汽車的平均速率=375公里/5小時=75公里/小時。事實上,因為路況不同、停車收費及休息區休憩等因素,車子行進的快慢不可能一直都保持75公里/小時,所以平均速率有時並不一定能描述物體真正的運動情形。

計算平均速率時,選取的時間間隔(Δt)愈小,平均速率愈能描述某一時刻物體真正的運動情形,此時的平均速率可當做該時刻的瞬時速率,瞬時速率簡稱為速率,以v表示。

如果物體在整個運動過程中,都具有相同的速率,則稱該物體做等速率運動,如分針的運動。

※例題

龜兔進行賽跑,沿途經過松樹、木屋、花圃、草坪,最後抵達終點(圖1)。烏龜的位置-時間關係以綠線表示、兔子以紅線表示(圖2)。

圖1 龜兔賽跑沿途的地標與位置之關係

圖2 龜兔賽跑位置與時間的關係

(1) 兔子曾停在何處休息?休息時間有多久?

(2) 若不計起點和終點,比賽過程中,龜、兔曾幾度相遇?

(3) 誰先到達終點?早了若干分鐘?領先多少公尺?

(4) 誰全程都做等速率運動?平均速率為多少?

參考解答︰

(1) 兔子總共休息兩次。

第一次在松樹下,休息時間25-5=20(分)

第二次在草坪上,休息時間50-35=15(分)

(2) 比賽過程中,綠線和紅線交會三次,代表龜、兔相遇三次。

(3) 由圖2判斷,烏龜先抵達終點。

烏龜領先兔子的時間55-50=5(分)

烏龜領先兔子的路程1200-1000=200(公尺)

(4) 烏龜全程做等速率運動

平均速率=1200公尺/50分=24公尺/分=24公尺/60秒=0.4公尺/秒速度

◎速

如圖3所示,甲、乙兩車的平均速率相等,但運動方向相反。以兩車的位置為縱坐標、時間為橫坐標作圖,可得兩車的位置-時間關係(簡稱x-t圖),如圖4A所示,為兩條分別經過原點的不同直線,由此可知,平均速率雖然可以表達物體在某一段時間內運動的快慢情形,卻無法表示出物體的運動方向。

圖3 甲乙兩車速率相同,方向不同

物理學上以「單位時間內的位置變化」來描述物體的運動,稱為平均速度。假設物體在t1時的位置是x1、t2時的位置是x2,歷經時間Δt=t2-t1,物體的位移為Δx=x2-x1,則平均速度()可以下列式子表示:

平均速度=位移/歷經時間   即=Δx/Δt =(x2-x1)/( t2-t1)

平均速度具有方向性,且方向與位移相同。平均速度的方向,以正、負號表示。若以東方為正,則平均速度為負值表示物體向西運動。

以圖4A為例:

甲車0∼5秒的位移 Δx=x2-x1=50-0=50(m)

平均速度=(50-0)/(5-0)=10(m/s)

乙車0∼5秒的位移 Δx=x2-x1=(-50)-0=-50(m)

平均速度=(-50-0)/(5-0)=-10(m/s)

甲、乙兩車運動快慢相同,但方向相反。

若以甲、乙兩車的速度為縱坐標、時間為橫坐標作圖,可得到如圖4B的速度-時間關係(簡稱v-t圖),由圖可知兩車在5秒內的速度大小、方向都維持一定。這種物體在整個運動過程中,速度大小和方向都保持一定的運動,稱為等速度運動

  

A 位置-時間關係圖       B 速度-時間關係圖

圖4 甲、乙兩車等速度運動的相關曲線

計算平均速度時,選取的時間間隔愈小,平均速度就愈能描述某一時刻物體真正的運動情形,此時的平均速度可當做該時刻的瞬時速度,瞬時速度簡稱為速度,以v表示。

等速度運動的物體,平均速度等於瞬時速度,因此可以寫為v=Δx/Δt,即位移Δx=v×Δt,正好等於Δt時間內,v-t關係線與時間軸所包圍的面積(圖5),因此我們可以說「v-t關係線和時間軸所包圍的面積,等於物體運動的位移大小」(影片1)。

圖5 v-t關係線與時間軸所包圍的面積等於物體的位移大小

影片1 等速度運動的速度時間關係圖(來源︰國立教育資料館-教育頻道影片)

如圖6所示,甲、乙兩車做等速度運動,若以東方為正,則:

甲車在0∼2秒內的位移

Δx=v ×Δt=10 ×(2-0)=20(m)

乙車在3∼7秒內的位移

Δx=v ×Δt=-15 ×(7-3)=-60(m)(-:代表向西)

圖6 v-t圖與位移關係示意圖

運動中的物體,速率或方向發生改變,速度就會改變,例如繞圓形跑道做等速率運動的物體,運動方向隨時都在變化,所以不是等速度運動,亦即等速度運動必為直線運動。

日常生活中,速度和速率這兩個名詞經常被混用,但兩者的意義並不相同(動畫1、影片2)。如圖7所示,要表達速度,需同時說明大小和方向,例如甲車以60公里/小時向西行駛,乙車以60公里/小時向東行駛;甲、乙兩車的速率雖然相等,均為60公里/小時,但是運動方向不同,所以兩車的速度並不相同。

圖7 甲、乙兩車速率相等,速度不相等•

動畫1 玩具火車(來源︰情境物理)

影片2速率和速度(來源︰國立教育資料館-教育頻道影片)